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等比数列前n项和公式的教学设计及反思-最新教育资料

在新课程?#27597;?#30340;今天,课堂教学的成败取决于学生是否能积

极、主动地参与到学习过程中,因此要提高课堂教学质量,就要

真正确立学生的主体地位,通过师生互动充分挖掘学生的思维潜

力,在教师的引领下,倡?#38469;?#29983;的思维对话,鼓励学生个性思维

的发挥.等比数列前n项和公式的推导方法既是一个教学重点,

又是一个教学难点.怎样突破这一难点呢?笔者将几个教学设计

方案呈现给大家,并做出一些反思.

方案一

直接给出等比数列的前n项和公式,向学生介绍公式的推导

方法.

方法1:由等比数列的定义,知===…==q,

由等比定理得:=q,即=q,

所以(1-q)Sn=a1-an?q.

将an=a1?qn-1代入得(1-q)Sn=a1(1-qn),

所以当q≠1时,Sn=;

当q=1时,Sn=na1.

方法2:(教师引导:能不能像推导等差、等比数列通项公

式的方法,列出一些等式,然后叠乘或叠加呢?)

a2=a1q,

a3=a2q,

a4=a3q,

……

an=an-1?q.

将以上等式的两边分别相加,得a2+a3+a4+…+an=q

(a1+a2+a3+…+an-1),

即:Sn-a1=q(Sn-an),

所以(1-q)Sn=a1-anq.

(以下过程同法一)

反思

方案一是由教师直接“抛出”等比数列前n项和的公式,学

生被动接受. 学生已经知道问题的结论,就失去探索未知的动

力. 如果?#25381;?#25945;师引导,普通学生不易?#19994;?#20844;式推导的思路,

只能是由教师提供方法,学生更多的是惊叹于方法的神奇,却没

有自主获得结论的成就感. 教师在实施课堂教学过程中,应当

更新教育理念,改变以往那种灌输——接受的教学模式,让学生

从机械、呆板、被动的学习中解放出来. 在教学过程中要通过

多种教学组织形式,引导学生积极主动的学习,使学习成为在教

师引导下主动、?#25381;?#20010;性的过程.

方案二(教师先给出一个情境)

国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发明者说:

“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在

第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,以此类推,每个格子里

放的麦粒数?#38469;?#21069;一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个

格子为止. 把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给您的仆

人吧.” 国王觉得这并不是很难办到的事,就欣然同意了他的

要求. 你认为国王应该给发明者多少粒麦粒呢?国王?#24515;?#21147;满

足发明者的要求吗?

从这一情境中提炼问题:S64=1+2+22+…+263①.

(教师引导:上式中的数有何特点?若用公比2乘以等式的

两边所得新式子有何特点?)

若用公比2乘以等式的两边,得2S64=2+22+23+…+264②.

(教师引导:观察①与②两式有何关系?)

为了便于比较①②两式,我们将它们列在一起:

S64=1+2+22+…+263①,

2S64=2+22+23+…+264②.

(教师引导:①与②两式可如?#26410;?#29702;?)

若②式减去①式,可以消去相同的项,得到:S64=264-1.

(回归问题:我们可以计算出国王奖赏的小麦约为

1.84×1019粒,大约7000亿吨,用这么多小麦能从地球?#25945;?#38451;

铺设一条宽10米、厚8米的大道,大?#38469;?#20840;世界一年粮食产量

的459倍,显然国王无法满足发明者的要求.)

(知识类比:能否仿照上述解题方法,给出一般等比数列的

前n项和?)

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,

观察等式右端,若每一项乘以公比q,就得到它后面相邻的

一项,在等式两边乘以公比q,得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn.

将两式的两端分别相减,就?#19978;?#21435;这些共同项,

所以(1-q)Sn=a1-a1qn.

当q≠1时,Sn=;当q=1时,Sn=na1.

这种求和方法称为“错位相减法”,是研究数列求和的一个

重要方法.

反思

方案二通过设计情境引入课题,激发了学生的兴趣,调动了

学习的积极性.创设问题情境时往往并不直接揭示所学的数学内

容,而需要学生基于自己的?#23548;?#21644;思考,从中提炼数学信息,因

此,学生的许多?#25381;?#21019;造性的想法可以从情境中引发出来. 方

案二采用了从特殊到一般的思想方法,但?#25381;?#31361;破错位相减的认

知“瓶颈”,依?#25381;小?#25243;出”的?#21491;桑?/p>

方案三 设计如下问题情境

1. 1-q2= _____________.

(1-q2=(1-q)(1+q))

2. 1-q3= _______________.

(1-q3=(1-q)(1+q+q2))

3. 猜想:1-qn=______________. ①

答案:1-qn=(1-q)(1+q+q2+…+qn-1).

4. 写出等比数列Sn的表达式:

__________________________. ②

(Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1(1+q+q2+…+qn-1)

5. 对比①和②,你发现了什么?

Sn=_____________________,求Sn时要注意什么?如何记忆Sn

公式?

(当q≠1时,Sn=;当q=1时,Sn=na1)

6. 对于①式,我们只是猜想,如何证明?(利用多项式的

运算法则) 7. 现在要你推导一次Sn的公

式,你会吗?

8. 把你的推?#21152;?#25945;材的推导进行对比,你能知道为什么要

这样推导了吗?

9. 深化与应用:已知{an}为等比数列(q≠1),定义

Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,你能根据回答以上问题得到的启发求出

Tn的最简式吗?能否把你推导出的结论进行进一步推广?

反思

方案三通过创设问题情境,让学生从已有知识入手推导出公

式,在这个过程中让学生学会猜想、观察、对比、发现、证明、

应用等,层层深入进行自主探究,充分挖掘了学生的思维潜

力. 自主探索是学生获取知识、形成能力的关键. 学生对数学

的认识不仅要从数学家已经研究过的现成的数学观点中去领悟,

更要在数学活动的?#23548;?#20013;亲身去体验知识产生的过程. 因此,

必须让学生“自主探索”(包括观察、描述、操作、猜想、实验、

收集整理、思考、推理、交流和应用等),亲身体验如何“做数

学”,如?#38382;?#29616;数学的“再创造”,从而激发学生的求知欲. 同

时,每个学生?#21152;?#20998;析、解决问题的潜能,?#21152;?#19982;生俱来的把自

己当做探索者、研究者、发现者的本能,有证实自己思想的欲望,

教师能否抓住这一点,是其数学教育成功与否的关键.

方案四

复习等差数列的前n项和公式的推导方法——倒序相加法,

激发学生类比联想:等比数列是不是?#37096;?#20197;用类似的方法进行求

和呢?这时学生会用倒序相加的方法来进行思考,结果显然是行

不通的.

教师适时点拨,引导学生进行思维发散——从倒序相加的定

式中解脱出来. 等差数列的求和方法,形式上是倒序相加,本

质上就?#21069;?#30465;略号(……)的“无形?#34987;?#20026;“有形”(上下对应

两项的和都等于a1+an). 对于等比数列而言,难点也是如何

把省略号(……)的“无形?#34987;?#20026;“有形”?引导学生从等比数

列的定义出发,进一步认识等比数列从第二项起,每一项?#38469;?#21069;

一项的q倍,也就是?#21040;?#27599;一项乘以q以后就变成了它的后一项,

那么将Sn这个和式的两边同时乘以q,则在qSn这个和式与Sn

的和式中,就会出?#20013;?#22810;相同的项. 这样通过两个和式相减,

消去了一些中间项,使带有省略号的含?#25105;?#26377;限项的式子变成仅

含有几项的式子,从而使问题得到解决.

反思

方案四借助推导等差数列求和公式的思想方法,类比寻求推

导等比数列的前n项和公式的方法. 类比就是依据两个或两类

数学对象的相似性进行联想,把它们其中一个数学对象已知的、

较为熟悉的特殊性迁移到另一个和它相似的数学对象上去,进而

得到新的发现或规律的思想方法. 类比思维是一?#21482;?#24471;数学发

现的重要数学思想,在数学学习和解题中起着至关重要的作

用.有意识地、合理地运用类比法,不仅对教学效果大有裨益,

而且可以帮助学生更好地建立?#29616;?#32467;构,探索和发现新的命题、

新知识,增?#30475;?#26032;能力和解决问题的能力. 教学中着力培养学

生类比推理能力是发展学生发现和自主创新的有效途径,是新课

标所倡导的“合情推理”的重要体现.

结束语

新课改?#23548;?#20027;阵地是课堂教学,课堂教学中要体现新课改的

理念和要求,就得改变过于强调接受学习、死记硬背、机械训练

的状况,倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜

集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力

以及交流合作的能力. 课堂教学中,?#25381;信?#21147;满足学生的学习

需求,激发学生的学习兴趣,使学生能?#35805;?#23398;、喜学和乐学,激

活学生的?#29616;?#27963;动,才能促使学生积极主动地参与教学过程,才

能实现数学课堂的高效率和高质量.

等比数列前n项和公式的教学设计及反思

在新课程?#27597;?#30340;今天,课堂教学的成败取决于学生是否能积

极、主动地参与到学习过程中,因此要提高课堂教学质量,就要

真正确立学生的主体地位,通过师生互动充分挖掘学生的思维潜

力,在教师的引领下,倡?#38469;?#29983;的思维对话,鼓励学生个性思维

的发挥.等比数列前n项和公式的推导方法既是一个教学重点,

又是一个教学难点.怎样突破这一难点呢?笔者将几个教学设计

方案呈现给大家,并做出一些反思.

方案一

直接给出等比数列的前n项和公式,向学生介绍公式的推导

方法.

方法1:由等比数列的定义,知===…==q,

由等比定理得:=q,即=q,

所以(1-q)Sn=a1-an?q.

将an=a1?qn-1代入得(1-q)Sn=a1(1-qn),

所以当q≠1时,Sn=;

当q=1时,Sn=na1.

方法2:(教师引导:能不能像推导等差、等比数列通项公

式的方法,列出一些等式,然后叠乘或叠加呢?)

a2=a1q,

a3=a2q,

a4=a3q,

……

an=an-1?q.

将以上等式的两边分别相加,得a2+a3+a4+…+an=q

(a1+a2+a3+…+an-1),

即:Sn-a1=q(Sn-an),

所以(1-q)Sn=a1-anq.

(以下过程同法一)

反思

方案一是由教师直接“抛出”等比数列前n项和的公式,学

生被动接受. 学生已经知道问题的结论,就失去探索未知的动

力. 如果?#25381;?#25945;师引导,普通学生不易?#19994;?#20844;式推导的思路,

只能是由教师提供方法,学生更多的是惊叹于方法的神奇,却没

有自主获得结论的成就感. 教师在实施课堂教学过程中,应当

更新教育理念,改变以往那种灌输——接受的教学模式,让学生

从机械、呆板、被动的学习中解放出来. 在教学过程中要通过

多种教学组织形式,引导学生积极主动的学习,使学习成为在教

师引导下主动、?#25381;?#20010;性的过程.

方案二(教师先给出一个情境)

国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发明者说:

“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在

第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,以此类推,每个格子里

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